材料力学

轴向拉伸与压缩

1. 应力: 截面内力的均布载荷，归定拉伸时为正，压缩为负

$$\sigma =\frac{F}{A}$$

2. 切应力互等定理：单元体内相互垂直的面上，切应力成对存在，相互相等

3. 材料拉伸性能：

   • 塑性材料（低碳钢）：
     • 弹性阶段$$\sigma =E\epsilon$$
     • 屈服阶段 $\to$ 屈服极限$${\sigma }_s=\frac{F_s}{A}$$
     • 强化阶段 $\to$ 最高点$${\sigma }_b=\frac{F_b}{A}$$
   • 脆性材料（铸铁）：
     • 用割线近似原曲线
     • 名义屈服极限

4. 许用应力

   $$[\sigma ]=\frac{{\sigma }^0}{n},\mathrm{其}\mathrm{中}n\mathrm{为}\mathrm{安}\mathrm{全}\mathrm{因}\mathrm{数}，{\sigma }^0\mathrm{可}\mathrm{取}{\sigma }_s\mathrm{或}{\sigma }_b$$

5. 变形

   • 纵向线应变$$\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}=\frac{FL}{EA}\frac{1}{L}=\frac{F}{EA}$$
   • 横向线应变$${\epsilon }^{\prime }=\mu \epsilon$$
   • 计算变形后某点的位置
     • 分别画出计算伸长量，画出延长线，作其垂线，交点极为所求位置
   • 超静定问题 变形协调条件
     • 过路径上一点作杆的垂线即可

剪切 实用 计算

1. 名义切应力

   $$\tau =\frac{F_S}{A}$$$$\mathrm{其}\mathrm{中}A\mathrm{为}\mathrm{剪}\mathrm{切}\mathrm{面}\mathrm{面}\mathrm{积}$$

2. 名义许用切应力

   $$[\tau ]=\frac{{\tau }_b}{n},$$$$\mathrm{其}\mathrm{中}{\tau }_b\mathrm{为}\mathrm{名}\mathrm{义}\mathrm{剪}\mathrm{切}\mathrm{强}\mathrm{度}\mathrm{极}\mathrm{限},n\mathrm{为}\mathrm{安}\mathrm{全}\mathrm{因}\mathrm{数}$$

3. 挤压应力

   $${\sigma }_{bs}=\frac{F}{A_{bs}}$$$$\mathrm{其}\mathrm{中}{A}_{bs}\mathrm{为}\mathrm{有}\mathrm{效}\mathrm{面}\mathrm{积}，\mathrm{一}\mathrm{般}\mathrm{取}\mathrm{投}\mathrm{影}\mathrm{即}\mathrm{可}$$

4. 挤压许用应力

5. 纯剪切的剪切胡克定律

   $$\tau =G\gamma$$$$\mathrm{其}\mathrm{中}\gamma \mathrm{为}\mathrm{互}\mathrm{成}\mathrm{直}\mathrm{角}\mathrm{的}\mathrm{线}\mathrm{段}\mathrm{之}\mathrm{间}\mathrm{改}\mathrm{变}\mathrm{的}\mathrm{夹}\mathrm{角}$$

扭转

1. 圆轴扭转的平面截面假设

   • 横截面保持为平面
   • 横截面的直径保持为直线

2. 扭转角

   $$d\phi =\frac{\gamma }{R}dx$$$$\mathrm{其}\mathrm{中}\{\begin{array}{l}R\mathrm{为}\mathrm{圆}\mathrm{轴}\mathrm{半}\mathrm{径}\\ d\phi \mathrm{为}\mathrm{相}\mathrm{距}dx\mathrm{的}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{截}\mathrm{面}\mathrm{相}\mathrm{对}\mathrm{的}\mathrm{转}\mathrm{角}\end{array}$$

3. 单位扭转角

   $$\theta =\frac{d\phi }{dx}$$

4. 切应力

   $$\begin{gathered} \tau =G{\gamma }_p=G\rho \frac{d\phi }{dx} \\ \mathrm{其}\mathrm{中}\rho \mathrm{为}\mathrm{该}\mathrm{点}\mathrm{至}\mathrm{轴}\mathrm{心}\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离} \end{gathered}$$

5. 考虑平衡

   $$\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{得}{M}_x=G{I}_p\frac{d\phi }{dx}$$$$\begin{gathered} \therefore \theta =\frac{M_x}{G{I}_p} \\ \therefore \tau =\frac{M_{x}R}{I_p}=\frac{M_x}{W_p}(M_p=\frac{I_p}{R_{max}}) \end{gathered}$$$$\mathrm{其}\mathrm{中}\{\begin{array}{ll}G& \mathrm{为}\mathrm{切}\mathrm{变}\mathrm{模}\mathrm{量}\\ M_x& \mathrm{为}\mathrm{截}\mathrm{面}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{扭}\mathrm{矩}\\ I_p& \mathrm{为}\mathrm{截}\mathrm{面}\mathrm{的}\mathrm{极}\mathrm{惯}\mathrm{性}\mathrm{矩}\\ M_p& \mathrm{为}\mathrm{抗}\mathrm{扭}\mathrm{截}\mathrm{面}\mathrm{系}\mathrm{数}\end{array}$$

6. 抗扭截面刚度

   $$G{I}_p$$

7. 许用切应力

8. 许用扭转角 [ θ ]

弯曲

弯曲内力

1. 载荷、剪力、弯矩关系

   $$\begin{gathered} F_S(x)={\int }_0^{x}qdl \\ M(x)={\int }_0^x{F}_{S}dl \end{gathered}$$

   其中： $q$ 取向上为正 $F_s$ 取使材料顺时针旋转为正 $M_x$ 取使材料下凸为正

弯曲应力

1. 正应力

   $$\begin{gathered} \sigma =\frac{M_{x}y}{I_z} \\ [\sigma ]=\frac{M_x{y}_{max}}{I_z}=\frac{M_x}{W_p}(W_p=\frac{I_z}{y_{max}}) \end{gathered}$$

2. 切应力

   $$\begin{gathered} \tau =\frac{F_S{S}_z^{\ast }}{I_{z}b} \\ \mathrm{其}\mathrm{中}\{\begin{array}{l}{F}_S\mathrm{为}\mathrm{截}\mathrm{面}\mathrm{处}\mathrm{的}\mathrm{剪}\mathrm{力}\\ S_z^{\ast }\mathrm{为}\mathrm{该}\mathrm{高}\mathrm{度}\mathrm{往}\mathrm{上}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{的}\mathrm{静}\mathrm{矩}\\ b\mathrm{为}\mathrm{该}\mathrm{高}\mathrm{度}\mathrm{的}\mathrm{割}\mathrm{线}\mathrm{长}\mathrm{度}\end{array} \end{gathered}$$

压杆稳定

欧拉公式

压杆失稳临界力 $$ F = \frac{\pi^2EI}{(\mu l)^2} $$

$\mu$ 的值取决于固定方式。可以通过数 $\pi$ 的方式确定 $\mu$。常见的固定方式如下。

固定方式	μ
铰支+铰支	$1.0$
固定+固定	$0.5$
固定+自由	$2$
固定+铰支	$0.7$

欧拉公式的适用范围

临界应力

$${\sigma }_{cr}=\frac{{\pi }^{2}EI}{(\mu l{)}^{2}A}=\frac{{\pi }^{2}E{i}^2}{(\mu l{)}^2}\triangleq \frac{{\pi }^{2}E}{{\lambda }^2}$$

从而定义柔度（长细比）$\lambda$，其值为 $\lambda =\mu l/i$，其中 $i$ 为惯性半径，$i=\sqrt{I/A}$。

主应力

平面应力状态

主应力：切应力为 $0$ 的平面内的正应力。

$\alpha$ 为平面法线与右侧截面法线的夹角。

三个主应力正交。${\sigma }_1$、${\sigma }_2$、${\sigma }_3$ 按从大到小的顺序排列。

$$\begin{array}{rl}{\tau }_{max}=& \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}\\ {\tau }_{min}=& -{\tau }_{max}\\ \\ {\sigma }_{max}=& \frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}+{\tau }_{max}\\ {\sigma }_{min}=& \frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}-{\tau }_{max}\\ \\ {\alpha }_0=& \frac{1}{2}\arctan \left(\frac{-2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_x-{\sigma }_y}\right)\end{array}$$

强度理论

第一强度理论
脆性断裂是由于微元内的最大拉应力达到了一个极限。
适用于大部分脆性材料受拉应力作用

第二强度理论
脆性断裂是由于微元内的最大拉应变达到了一个极限。
适用于处于一拉一压的二向应力状态的脆性材料

第三强度理论
发生屈服是由于微元内的最大切应力达到了一个极限。
适用于塑性材料

第四强度理论
发生屈服是由于微元的形状改变比能达到了一个极限。
？？？

平面几何性质

静矩

$$\begin{array}{r}{S}_z={\int }_{\mathrm{\Omega }}ydA=z_{c}A\\ S_y={\int }_{\mathrm{\Omega }}zdA=y_{c}A\end{array}$$

惯性矩、极惯性矩、惯性积

极惯性矩

$$I_p={\int }_{\mathrm{\Omega }}{\rho }^{2}dA$$

惯性矩

$$I_z={\int }_{\mathrm{\Omega }}{y}^{2}dA$$

惯性积

$$I_{xy}={\int }_{\mathrm{\Omega }}xydA$$

惯性半径

$$i_z=\sqrt{\frac{I_z}{A}}$$

平行移轴公式

$$\begin{array}{rl}{I}_z& =I_{z_c}+b^{2}A\\ I_{xy}& =I_{x_c{y}_c}+abA\end{array}$$

转轴公式

$$\begin{array}{rl}{I}_{z^{\prime }}& =\frac{I_z+I_y}{2}+\frac{I_z-I_y}{2}\cos 2\alpha -I_{zy}\sin 2\alpha \\ \\ I_{y^{\prime }}& =\frac{I_z+I_y}{2}-\frac{I_z-I_y}{2}\cos 2\alpha +I_{zy}\sin 2\alpha \\ \\ I_{z^{\prime }{y}^{\prime }}& =\frac{I_z-I_y}{2}\sin 2\alpha +I_{xy}\cos 2\alpha \end{array}$$