量子物理

黑体辐射

1. 单色辐出度
2. 辐出度
3. 单色吸收比

黑体满足下列定律 斯特藩·玻尔兹曼定律

$$M(T)=\sigma T^4,$$

其中 $\sigma =5.67\times {10}^{-8}W/(m^2\ast K^4)$

维恩位移定律

$${\lambda }_{m}T=b$$

其中 $b=2.897\times {10}^{-3}m\ast K$

黑体辐射公式

$$M_0(\lambda ,T)=2\pi h{c}^2{\lambda }^{-5}\frac{1}{e^{hc/T{k}_B\lambda }-1}$$

公式间关系：

graph LR;
A(黑体辐射公式) --- |求极值| C(维恩位移定律);
A --- |积分| B(斯特藩-玻尔兹曼定律);
D(维恩公式) --- |" λ" 很小| A;
E(瑞利-金斯公式) --- |" λ" 很大| A;

光电效应

爱因斯坦光电效应方程

$$h\nu =A+\frac{1}{2}m{v}^2$$

名词	解释	符号
饱和电流	$U$ 增大到一定值时 $I$ 不再增大
遏止电压	$U$ 反向增大至一定值时 $I=0$	$U_0$
红限频率	$\nu$ 减小到一定值时不能发出光电子	${\nu }_0=e{U}_0/h$
逸出功	光电子逸出金属需要的功
最大初动能	一定频率下光电子逸出后的最大初动能	$A=e{U}_0$

光子动量

$$p=mc=\frac{m{c}^2}{c}=\frac{h\nu }{c}$$

康普顿效应

实验

测量不同散射角下散射光的波长与强度

碰撞中的能量与动量守恒**

$$\begin{array}{rl}h{\nu }_0& =h\nu +(m-m_e)c^2\\ \frac{h{\nu }_0}{c}& =\frac{h\nu }{c}\cos \theta +mv\cos \phi \\ 0& =\frac{h\nu }{c}\sin \theta -mv\sin \phi \end{array}$$

波长差与 $\theta$ 关系

经过一通计算

消去 $\phi$ :

$$\frac{h^2}{{\lambda }_0^2}+\frac{h^2}{{\lambda }^2}-\frac{2h^2}{\lambda {\lambda }_0}\cos \theta =m^2{v}^2$$

能量守恒式可得:

$$\frac{h}{{\lambda }_0}-\frac{h}{\lambda }+m_{e}c=mc$$

由于相对论：

$$m^2(c^2-v^2)=m_e^2{c}^2$$

代入即得

$$h(\cos \theta -1)+(\lambda -{\lambda }_0)m_{0}c=0$$

解得

$$\mathrm{\Delta }\lambda =\lambda -{\lambda }_0=\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos \theta )\triangleq 2{\lambda }_c{\sin }^2\frac{\theta }{2}\mathrm{\Delta }\lambda =\lambda -{\lambda }_0=\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos \theta )\triangleq 2{\lambda }_c{\sin }^2\frac{\theta }{2}$$

其中

$${\lambda }_c=\frac{h}{m_{e}c}=2.43\times {10}^{-12}m$$

称为电子的康普顿波长。

电子反冲能量

能量守恒即可

$$E=\frac{hc}{{\lambda }_0}-\frac{hc}{\lambda }$$

电子反冲动量

两个方向动量守恒即可

德布罗意波

能量-动量关系

$$E^2=m^2{c}^4+p^2{c}^2$$

氢原子光谱

能级公式：

$$E_n=\frac{-13.6eV}{n^2}$$

在不同的波段，表现为不同的线系，巴耳末系为跃迁至 n=2 能级的线系。

薛定谔方程

自由粒子波函数

自由粒子不受外力作用，动量、能量不变 $\Rightarrow$ $\nu$，$\lambda$ 不变，故

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Psi }(x,t)=& {\mathrm{\Psi }}_0[\cos 2\pi (\nu t-\frac{x}{\lambda })]\\ =& {\mathrm{\Psi }}_0\cos \frac{1}{\hslash }(Et-px)\\ =& {\mathrm{\Psi }}_0{e}^{-\frac{i}{\hslash }px}{e}^{\frac{i}{\hslash }Et}\\ \triangleq & \varphi (x)e^{\frac{i}{\hslash }Et}\end{array}$$

$\varphi (x)$ 叫做定态波函数。

微观粒子波动性的统计解释

单位体积==电磁能量==

$$W\propto E_0^2$$

光子出现的概率

$$\rho \propto n=\frac{W}{h\nu }\propto E_0^2\propto |\mathrm{\Psi }{|}^2$$

该关系被波恩逆向++推广++，$|\mathrm{\Psi }{|}^2$一定代表某个粒子在时空中出现的概率，因而有了两个条件：

1. 波函数单值、连续、可微
2. 归一化条件：对整个空间积分结果为 1

波动方程

由

$$\mathrm{\Psi }(x,t)={\mathrm{\Psi }}_0{e}^{\frac{i}{\hslash }(Et-px)}$$

对时间 $t$ 求导，得==能量算符==

$$\hat{E}=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$$

对空间 $x$ 求导，得==动量算符==

$${\hat{p}}_x=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}$$

一维自由粒子

$$E=\frac{p^2}{2m}$$$$\therefore \hat{E}\mathrm{\Psi }(x,t)=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}\mathrm{\Psi }(x,t)$$$$\therefore i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(x,t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{\Psi }(x,t)$$

推广到一般自由粒子，粒子所处的势场为 $U(x,t)$。

$$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }(x,t)}{\partial t}=[-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+U(x,t)]\mathrm{\Psi }(x,t)$$

定义==哈密顿算符==

$$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+U(x,t)=\frac{{\hat{p}}_x^2}{2m}+U(x,t)$$

拓展到三维势场中：

$$\because E=H=\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}+U(\overrightarrow{r},t)$$$$\therefore \hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})+U(\overrightarrow{r},t)$$$$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{▽}^2+U(\overrightarrow{r},t)$$$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)=\hat{H}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)$$

定态问题

势能函数U与时间无关时，$\hat{H}$与时间无关，薛定谔方程可用分离变量法求解（$\mathrm{\Psi }$可分解为坐标函数与实践函数乘积）

不确定性关系

$$\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }{p}_x\ge \hslash /2$$$$\mathrm{\Delta }E\cdot \mathrm{\Delta }t\ge \hslash /2$$

不确定性关系的应用

几率流密度

算符

基本关系

$$\bar{F}=\int F\mathrm{\Psi }(x){\mathrm{\Psi }}^{\ast }(x)dx=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }(x)\hat{F}\mathrm{\Psi }(x)dx$$

常用算符

算符	值
$\widehat{p_x}$	$-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}$
$\hat{p}$	$-i\hslash \mathrm{\Delta }$
$\hat{E}$	$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$
$\hat{x}$	$x$
$\widehat{L_x}$	$\hat{y}\widehat{p_z}-\hat{z}\widehat{p_y}$
$\widehat{L_y}$	$\hat{y}\widehat{p_x}-\hat{z}\widehat{p_z}$
$\widehat{L_z}$	$\hat{y}\widehat{p_y}-\hat{z}\widehat{p_x}$
$\widehat{L^2}$	$\widehat{L_x^2}+\widehat{L_y^2}+\widehat{L_z^2}$

算符的一般性质

1. 量子物理中讨论的算符都是线性的
2. 加法交换律
3. 乘法分配律、结合律，但不满足交换律

对易关系

对易括号

$$\hat{F}\hat{G}-\hat{G}\hat{F}\triangleq [\hat{F},\hat{G}]$$

对易关系的规律

1. $[\hat{F},\hat{G}]=-[\hat{G},\hat{F}]$
2. $[\hat{F},\hat{G}+\hat{R}]=[\hat{F},\hat{G}]+[\hat{F},\hat{R}]$
3. $[\hat{F},\hat{G}\hat{R}]=[\hat{F},\hat{G}]\hat{R}+\hat{G}[\hat{F},\hat{R}]$
4. $[\hat{F},[\hat{G},\hat{R}]]+[\hat{G},[\hat{R},\hat{F}]]+[\hat{R},[\hat{F},\hat{G}]]=0$

常用对易关系

1. $[\widehat{p_x},\hat{F}]=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}\hat{F}$
2. $[\widehat{r_i},\widehat{r_j}]=0$
3. $[\widehat{p_i},\widehat{p_j}]=0$
4. $[\widehat{L_i},\widehat{L_j}]=i\hslash \widehat{L_k}{\epsilon }_{ijk}$
5. $[\widehat{r_i},\widehat{p_j}]=i\hslash {\delta }_{ij}$
6. $[\widehat{L_i},\widehat{p_j}]=i\hslash \widehat{p_k}{\epsilon }_{ijk}$
7. $[\widehat{L^2},\widehat{L_i}]=0$

本征值、本征函数

算符 $\hat{F}$ 作用于某个函数 $u$ 有

$$\hat{F}u=\lambda u$$

则 $\lambda$ 为 $\hat{F}$ 的本征值，$u$ 为 $\hat{F}$ 的本征函数，上式为 $\hat{F}$ 的本征方程。

厄密算符

定义

$$\int {\psi }^{\ast }\hat{F}\phi dV=\int (\hat{F}\psi {)}^{\ast }\phi dV$$

其中 $\psi ,\phi$ 为任意两个波函数。

性质

1. 本征值为实数
2. 本征函数彼此正交
3. 本征函数具有完备性

量子力学的另一个基本假设

在任何状态下测一力学量，

1. 单次测量的结果必是这力学量的某一本征值，
2. 经过测量后，原先的状态转变为与这个特殊本征值相应的本征态。

常见力学量的本征函数

坐标算符

$$x\mathrm{\Psi }(x)=x_0\mathrm{\Psi }(x)\Rightarrow \psi (x)=\delta (x)$$

动量算符

角动量算符

表象变换

如何寻找变换矩阵

势阱

什么是隧道效应有限位势垒-推导