适用条件

线性齐次常系数微分方程，形如

$$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{(1)}+a_0=0$$

推导

观察到 $y=e^{rx}$ 符合条件，以此为假设，则 $x=0$ 时：

$$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0$$

该方程即为特征方程。

特征方程根的含义

相异实根

对应的项为

$$C{e}^{rx}$$

推导

所有满足 $y=e^{rx}$ 的解都是微分方程解，再由[[叠加原理]]知道方程解为：

$$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}+\cdots$$

重根实根

$k$ 次重根 $r$ 对应项为

$$e^{rx}(C_0+C_{1}x+\cdots +C_{k-1}{x}^{k-1})$$

推导

若特征方程有 $k$ 个重复根 $r_1$ ，则可以确定 $y=e^{r_{1}x}$ 是原方程的解，但是却不能提供更多信息。

共轭复数根

与实数根完全一致，但是可以展开为三角函数。$r=a\pm bi$ 对应的项：

$$e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)$$

例子

自由振动方程

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$$

稍简化一下：

$$\ddot{x}+\frac{c}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0$$

特征方程

$$r^2+\frac{c}{m}r+\frac{k}{m}=0$$

的解为

$$\begin{array}{r}{r}_1=\frac{1}{2m}(-c+\sqrt{c^2-4k})\\ r_2=\frac{1}{2m}(-c-\sqrt{c^2-4k})\end{array}$$

特殊情况下的解

• 无阻尼自由振动 ${\displaystyle x=A\sin \omega t+B\cos \omega t}$ ， ${\displaystyle \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}}$ ；
• 无阻尼受迫振动 ${\displaystyle x=A\sin \omega t+B\cos \omega t-\frac{P\sin ({\omega }_{d}t)}{k-m{\omega }_d^2}}$ , ${\displaystyle \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}}$ ；