偏心受压

破坏模式

当大偏心受压破坏时，轴向力 $N$ 为有利荷载；反之为不利荷载。界限破坏时， $ξ = ξ_{b}$ ， $x$ 由平截面假定决定，故界限破坏的轴向力 $N_{u} = α_{1} f_{c} b x$ 为确定值，不受配筋的影响。

\begin{aligned} N & = α_{1} f_{c} x b + f_{y}^{'} A_{s}^{'} - f_{y} A_{s} \\ M & = α_{1} f_{c} x b \cdot (h_{0} - \frac{x}{2}) + f_{y}^{'} A_{s}^{'} (h_{0} - a_{s}^{'}) \\ M & = N e_{0} \end{aligned}

该方程为关于 $x$ 的一元二次方程，可解。

当 $e_{i} \geq 0.3 h_{0}$ 时，很有可能是大偏心受压。

小偏心受压时，远侧钢筋没有受拉屈服，根据平截面假定，受压钢筋已屈服。此时远侧钢筋可能：

此时远侧钢筋 $σ \neq f_{y}$ ，其应力可用 $x$ 表示，方程可化为一元三次方程。

这里仅考虑对称配筋的情况。

从受拉钢筋应变很大的情况开始，考虑其慢慢减小。

Case 1：远端钢筋受拉屈服，受压区钢筋受压不屈服

此时，认为混凝土压应力块合力在受压钢筋上，对受压钢筋取矩：

\begin{aligned} N e^{'} & = f_{y} A_{s} (h_{0} - a_{s}^{'}) \end{aligned}

可解得钢筋面积 $A_{s}$ 。

Case 2：远端钢筋受拉屈服，受压区钢筋受压屈服

拉筋与压筋的拉力相互抵消，对拉筋取矩：

\begin{aligned} N = α_{1} f_{c} b x \\ N e = α_{1} f_{c} b x (h_{0} - \frac{x}{2}) + f_{y}^{'} A_{s}^{'} (h_{0} - a_{s}^{'}) \end{aligned}

Case 3：远端钢筋受拉不屈服或受压不屈服（此时受压区钢筋一定屈服）

\begin{aligned} N & = α_{1} f_{c} b x + f_{y}^{'} A_{s}^{'} - σ_{s} A_{s} \\ N e & = α_{1} f_{c} b x (h_{0} - \frac{x}{2}) + f_{y}^{'} A_{s}^{'} (h_{0} - a_{s}^{'}) \\ σ_{s} & = E_{s} ε_{c u} (\frac{β}{ξ} - 1) \approx \frac{0.8 - ξ}{0.8 - ξ_{b}} f_{y} \end{aligned}

由此可解得

\begin{aligned} A_{s} & = \frac{N e - α_{1} f_{c} b h_{0}^{2} ξ (1 - 0.5 ξ)}{f_{y} (h_{0} - a_{s}^{'})} \\ ξ & = \frac{N - α_{1} f_{c} b h_{0} ξ_{b}}{\frac{N e - 0.43 f_{c} b h_{0}^{2}}{(h_{0} - a_{s}) (0.8 - ξ_{b})} + f_{c} b h_{0}} + ξ_{b} \end{aligned}

Case 4：远端钢筋受压屈服

此时钢筋对抗弯没有贡献；保证受压区混凝土应变不超过 $ε_{c u}$ 即可。

\frac{N (e_{0} + e_{a})}{W} + \frac{N - 2 f_{y} A_{s}}{b h} = ε_{c u}

得

A_{s} = \frac{6 N (e_{0} + e_{a}) + h (N - ε_{c u} b h)}{2 f_{y} h}

远端钢筋受拉屈服的同时混凝土达到极限压应变：

\frac{ε_{c u}}{x} = \frac{ε_{y}}{β h_{0} - x} \Rightarrow x = \frac{β h_{0} ε_{c u}}{ε_{y} + ε_{c u}} \Rightarrow ξ_{b} = \frac{β}{\frac{f_{y}}{E_{s} ε_{c u}} + 1}

远端钢筋受压屈服时混凝土达到极限压应变：