纯弯承载力

计算模型

基本假定

1. 遵循平截面假定
2. 破坏模式为：受压区混凝土达到 $3300\mu \epsilon$
3. 忽略混凝土抗拉强度，受压区等效为矩形应力块，宽度为受压区的 $80\mathrm{\%}$

破坏模式

• 超筋破坏：混凝土受压区达到 ${\epsilon }_{cu}$ 时，钢筋还未屈服。不难发现，混凝土达到${\epsilon }_{cu}$时钢筋是否屈服（达到屈服应变）在平截面假定下由 $\xi$ 决定，并在$f_{cu}=14.3MPa$ 、$f_y=360MPa$ 时取 ${\xi }_b=0.518$ 。
• 少筋破坏：混凝土一旦开裂就破坏。即少筋情况下，破坏取决于混凝土抗拉强度。一般取 ${\rho }_{min}=0.2\mathrm{\%}$ 或 ${\rho }_{min}=0.45f_{t}h/(f_y{h}_0)$ 。

避免超筋破坏

不论是超筋破坏还是少筋破坏，都是脆性破坏，应该避免。如果设计出超筋梁，可以：

1. 增强材料
2. 增大截面
3. 配受压区钢筋

矩形截面设计涉及物理量

物理量	含义
$x$	矩形应力块高度 $x=\beta x_c$ ，C30 混凝土为 $80\mathrm{\%}$
$x_c$	受压区高度
${\alpha }_1$	等效应力块应力与$f_c$比值
$a_s$	保护层厚度
$h_0$	有效高度$h-a_s$
$b$	混凝土宽度
$h$	混凝土高度
$A_s$	受拉区钢筋面积
$A_s^{\prime }$	受压区钢筋面积
$\rho$	配筋率 $As/bh$
$f_y$	钢筋屈服强度
$f_c$	混凝土破裂强度
$M$	抗弯承载力
$\xi$	相对受压区高度 $\xi =x/h_0$
${\xi }_b$	界限受压区高度 $\xi =x_b/h_0$

单侧配筋

根据基本假设，假设破坏时钢筋已经屈服，可以容易地得到以下方程：

$$\{\begin{array}{rl}& A_s{f}_y={\alpha }_1{f}_{c}bx\\ & M=A_s{f}_y(h_0-\frac{x}{2})\end{array}$$

已知设计承载力求配筋

解得

$$\{\begin{array}{rl}x& =h_0-\sqrt{h_0^2-\frac{2M}{f_{c}b}}\\ A_s& =\frac{f_{c}bx}{f_y}\end{array}$$

$M,f_s,a_s,b,h$ $\Rightarrow$ $A_s,x$

已知配筋验证承载力

$$\{\begin{array}{r}x=\frac{A_s{f}_Y}{{\alpha }_1{f}_{c}b}\\ M=A_s{f}_y\end{array}$$

双侧不对称配筋

• 钢筋承载力分为两部分：单筋截面与对称钢筋的叠加。

假设两侧钢筋都屈服，则有：

$$\{\begin{array}{c}{\alpha }_1{f}_{c}bx+f_y^{\prime }{A}_s^{\prime }=f_y{A}_s\\ M_u={\alpha }_1{f}_{c}bx(h_0-\frac{x}{2})+f_y^{\prime }{A}_s^{\prime }(h_0-a_s)\end{array}$$

已知设计承载力求配筋

上式 $x,A_s,A_s^{\prime }$ 都是未知数，有无穷组解。使钢筋用量最少的解满足 $x/h_0=0.55$，但是需要针对 ${\xi }_b$ 进行调整：不能大于 ${\xi }_b$。

已知配筋验证承载力

代入可求解，但是方程化为 $x$ 的三次方程。

验证钢筋是否屈服

1. 受拉钢筋屈服：满足 $\xi ={\xi }_b$
2. 受压钢筋屈服：满足 $x>2a_s^{\prime }$

受压钢筋屈服的表达式仍由平截面假定确定，此时可以认为混凝土受压区合力作用点与受压钢筋重合，截面抗弯承载力为

$$M=f_y{A}_s(h_0-a_s^{\prime })$$

T 形截面

计算思想不变。计算方法：

假设中和轴在 T 型截面翼缘内，按宽为翼缘宽的矩形截面计算出 $x$ ，若计算后发现假设不成立，则将翼缘抽象为受压区钢筋即可。

双侧对称配筋

基本方程与不对称相同，所以：

1. 由于混凝土上一定有应力，受压钢筋不可能屈服
2. 此时混凝土受压区合力作用点近似认为是受压钢筋处
3. 极限承载力 $M=A_s{f}_y(h_0-x/2)$