弹簧振子的振动

自由振动

由 ${\displaystyle -kx=m\ddot{x}}$ 解得 $x=A\sin \omega x+B\cos \omega x$ ，其中 ${\displaystyle \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}}$ 为固有频率。

对于给定的初始条件，可以给出 $A=v_0$ ， $B=x_0$ ，分别为初速度与初位移。

受迫振动

假设外力为简谐振动，由 $m\ddot{x}=-kx+P\sin \theta x$ 解得

$$x=A\sin \omega t+B\cos \omega t+\frac{P\sin (\theta t)}{k-m{\theta }^2},$$

其中 ${\displaystyle \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}}$ 为固有频率， $\theta$ 为外力频率。

为了研究 $\theta$ 对振幅的影响，将 $k=m{\omega }^2$ 代入，并假设初速度与初位移为 $0$ ，得

$$x=\frac{P}{k}\frac{\sin (\theta t)}{1-{\displaystyle \frac{{\theta }^2}{{\omega }^2}}}$$

对于静力来说，最大位移 ${\displaystyle x_{max}=\frac{P\sin (\theta t)}{k}}$ ，则可定义动力放大系数

$$MF=\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{{\theta }^2}{{\omega }^2}}}$$

• $\theta \to 0$ 时 $MF\to 1$ ，相当于静力
• $\theta \to \omega$ 时 $MF\to \mathrm{\infty }$ ，发生共振
• $\theta \to \mathrm{\infty }$ 时 $MF\to 0$ ，结构来不及响应

非简谐振动场景

通解依旧，需要重新找特解。

有阻尼自由振动

振动方程

$$m\ddot{x}=-kx-c\dot{x}$$

定义阻尼比 ${\displaystyle \xi =\frac{c}{2m\omega }}$ , 又由 ${\displaystyle \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}}$ , 改写原方程为

$$\ddot{x}+2\xi \omega \dot{x}+{\omega }^{2}x=0$$

解得

$$x=C_1{e}^{\omega t(-\xi +\sqrt{{\xi }^2-1})}+C_2{e}^{-\omega t(\xi +\sqrt{{\xi }^2-1})}$$

这里研究 $\xi$ 很小的情况。

令 ${\omega }_r=\omega \sqrt{1-{\xi }^2}$ ，则

$$x=e^{-\omega t\xi }(A\sin {\omega }_{r}t+B\cos {\omega }_{r}t)$$

迅速衰减，并可依此由实验得出阻尼比。

有阻尼受迫振动

振动方程

$$kx+c\dot{x}+m\ddot{x}=P\sin \theta t$$

通解同有阻尼自由振动，特解可设为

$$A\sin \theta t+B\cos \theta t$$

代回方程可解出 $A$ , $B$ 。由于自由振动解很快衰减，特解中放大系数

$$\frac{1}{MF}=\frac{x_{max}}{\sqrt{A^2+B^2}}=\sqrt{{(1-\frac{{\theta }^2}{{\omega }^2})}^2+4{\xi }^2\frac{{\theta }^2}{{\omega }^2}}$$

• $\theta \to 0$ 时，$MF\to 1$
• $\theta \to \omega$ 时，${\displaystyle MF\to \frac{1}{2\xi }}$
• $\theta \to \mathrm{\infty }$ 时，$MF\to 0$

极值与自动振动比，偏左下。

符号	说明	符号	说明
$x$	位移，为时间 $t$ 的函数	$k$	刚度系数
$m$	质点质量	$c$	阻尼系数
$\omega$	固有频率 ${\displaystyle \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}}$	$P$	外力最大值
$\theta$	外力简谐振动频率	$MF$	动力放大系数
$\xi$	阻尼比 ${\displaystyle \xi =\frac{c}{2m\omega }}$