极限分析

极限弯矩与塑性铰

全截面屈服时的弯矩，为极限弯矩，依靠积分确定。当截面弯矩达到极限弯矩后，截面可以任意转动而弯矩不变，表现如同铰一样，称为塑性铰。

极限荷载

结构承受一系列按比例增长的荷载，会逐步出现塑性铰。当出现铰的个数多到使结构变为机构时，结构将破坏。

WARNING

也有可能是结构变为瞬时稳定状态。

过程法求极限荷载

每出现一个塑性铰，受力形式将发生变化，需要对新的结构进行弯矩计算；新的弯矩图应与之前的弯矩图进行叠加，最终可以得到极限荷载。

以上就是分类讨论，即过程法的解题步骤。如果全截面极限弯矩相等，则弯矩最大的点为出铰点，分析起来比较方便。

能量法求极限荷载

现考虑结构破坏以后：外力做功全部转变为塑性铰的内能。

$$\mathrm{\Sigma }{P}_i{\delta }_i=\mathrm{\Sigma }{M}_{u_i}{\theta }_i$$

由以上可以列方程解出极限荷载。

解题步骤

• 列出所有可能的破坏模式
• 列出每个破坏模式下的能量法方程
• 分别计算临界荷载
• 取最小值

梁的破坏

• 单跨梁需要出现一个塑性铰
• 超静定梁需要出现 $n+1$ 个塑性铰， $n$ 为超静定次数
• 多跨连续梁需要注意局部破坏，即任意跨的破坏都算破坏

刚架的破坏

与梁类似，但是角度关系更难找些。可以用的方案有：

1. 观察出铰后的刚片，可以适当作延长线；
2. 转动的角度很小，以至于三角形中有两个 $90\mathrm{°}$ 的角；
3. 同一杆件近似绕某一定点转动

轴力与剪力的影响