无限自由度系统

在无限自由度里，位移表示为 $x$ 和 $t$ 的函数，即 $y(x,t)$ 。方程

$$EI\frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}+\overline{m}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=0$$

用分离变量法求解：

假设

$$y=f(x)\cdot Y(t)$$

则

$$\begin{array}{rl}& EI\cdot Y(t)f^{(4)}(x)+\overline{m}f(x)\cdot Y^{(2)}(t)=0\\ & \frac{EI}{\overline{m}}\frac{f^{(4)}(x)}{f(x)}=\frac{Y^{(2)}(t)}{Y(t)}={\omega }^2\end{array}$$

得

$$\begin{array}{rl}Y(t)& =\rho \sin (\omega t+\alpha )\\ f(x)& =A_1\cos \lambda x+A_2\sin \lambda x+A_3\cosh \lambda x+A_4\sinh \lambda x\end{array}$$

其中

$$\lambda =\sqrt[4]{\frac{{\omega }^2\overline{m}}{EI}}$$

通过代入边界条件就可以得到一系列 $\lambda$ 和 $\omega$ 。